متوجه شدم. اجازه دهید با دقت بیشتری توضیح دهم که چطور نتیجه \(\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\) به دست می‌آید.

### محاسبه انتگرال \(\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx\):

#### ۱. تابع و هدف
تابع مورد نظر:
\[
I = \int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
\]

#### ۲. استفاده از روش‌های انتگرالی
روش اصلی برای حل این انتگرال، استفاده از فرمول انتگرالی معروف به فرمول اویلر-ماکلورین یا انتگرال‌های اویلر-پواسون است. برای انتگرال‌های به فرم \(\int_0^\infty \frac{e^{-ux} \sin(vx)}{x} \, dx\)، نتیجه این است:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ux} \sin(vx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{v}{u}\right)
\]

#### ۳. دلیل استفاده از این فرمول
این فرمول نتیجه یک سری روش‌های پیچیده انتگرالی و تبدیل لاپلاس و تحلیل مختلط است. برای نشان دادن نتیجه به طور خلاصه:
- اگر \(u > 0\) و \(v > 0\)، این انتگرال همگرا است و نتیجه به شکل \(\arctan\left(\frac{v}{u}\right)\) در می‌آید.

#### ۴. اثبات ساده:
به طور خلاصه، از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم:
\[
\mathcal{L}\left\{ \frac{\sin(bx)}{x} \right\}(s) = \arctan\left(\frac{b}{s}\right)
\]

حال اگر \(s = a\)، داریم:
\[
\mathcal{L}\left\{ \frac{\sin(bx)}{x} \right\}(a) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

بنابراین، معکوس تبدیل لاپلاس به ما می‌گوید که:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

### نتیجه نهایی:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

این فرمول نتیجه تحلیل جامع‌تر انتگرال‌های به فرم \( \int_0^\infty \frac{e^{-ux} \sin(vx)}{x} \, dx \) است که در منابع مختلف ریاضی و مهندسی وجود دارد. در اینجا فقط از نتیجه استفاده کرده‌ایم.

آیا این توضیح کمک کرد تا روشن‌تر شود؟ اگر نیاز به جزئیات بیشتری دارید، لطفاً بگویید.

Explore the integral \(\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx\) and its connection to the arctangent function. This problem involves advanced techniques in integral calculus and the inverse Laplace transform theorem. Suitable for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation